3倍角の公式

3倍角の公式なんて普段あまり聞かないけど覚えておくといざというときに見を助けてくれる。 例えば球の慣性モーメントを極座標を使って求めようとすると$\sin^3 \theta$の積分が出てくる。これって普通にはできないので試験中の時間のないときに求めろって言われたらかなり焦る。

そこへ3倍角の公式を投入すると一瞬で解決してくれる。普通、3倍角の公式というぐらいだから$\sin 3\theta =$の形で置かれるがこれを変形して$\sin^3 \theta =$の形で覚えておけばすごく時間短縮できる。

$$ \sin ^3 \theta = \frac{3\sin\theta - \sin 3\theta}{4} $$

$$ \cos ^3 \theta = \frac{3\cos\theta + \cos 3\theta}{4} $$

…もし3倍角の公式を忘れてしまったのなら加法定理から少し手間だけど導ける。

$\sin(\theta + 2\theta)$として加法定理で展開し、その中に出てくる$2\theta$を再び$\theta+\theta$として加法定理で更に展開して求めるか、または$\theta + 2\theta$で展開してその後は2倍角の公式を使えば少し楽に求まる。

何にせよそんなに難しい公式ではないので覚えておけばかなり役立つと思う。