電磁気の問題に出てくる連立微分方程式

電場や磁場中を運動する電荷を持った物体の運動方程式によく出てくる連立微分方程式の解き方をまとめておく。

例えば$z$正方向に一様な磁場$\bm B$がかかっている時、質量$m$、電荷$q$の物体を原点からy軸正方向へ初速度$v$で打ち出した時の運動方程式は$m\bm v' = q(\bm v \times \bm B)$となる。外積は次の行列式で求まる。

$$
\left|
\begin{array}{ccc}
\bm i & \bm j & \bm k \\
v_x & v_y & v_z \\
0 & 0 & B
\end{array}
\right|
$$

結果

\begin{align}
m{v_x}' &= q v_y B \tag{1} \\
m{v_y}' &= - q v_x B \tag{2} \\
m{v_z}' &= 0
\end{align}

$(1)$を変形すると

$$ {v_y} = \frac{m}{qB} {v_x}' $$

となる。これを両辺$t$で微分すれば

$$ {v_y}' = \frac{m}{qB} {v_x}'' $$

これを$(2)$へ代入すると

\begin{align} {v_x}'' &= - \frac{q^2B^2}{m^2} {v_x} \\
&= - \omega^2 {v_x}\end{align}

となる。このように$\omega$をおけば単振動同じ式になるので${v_x}$は

$${v_x} = c_1 \cos \omega t + c_2 \sin \omega t$$

となる。次に$v_y$を求めるがこの時$v_x$と全く同じ手順で求めるとうまくいかない。計算自体はできるが積分定数の設定が正しく行えないのである。連立微分方程式なのだから$v_x$と$v_y$は互いに関係しあうので独立して求めてはいけないということ。なので$v_y$は求まった$v_x$を実際に当てはめて計算する。

まず$(1)$を整理すると

\begin{align} {v_y} &= \frac{m}{qB} {v_x}' \\
&= \frac{1}{\omega} {v_x}'
\end{align}

となる。$\omega$は先ほど置いたとおり。ここへ求まった${v_x}$を微分して代入すれば

\begin{align}
v_y &= \frac{1}{\omega} \left( -\omega c_1 \sin \omega t + \omega c_2 \cos \omega t \right) \\
&= - c_1 \sin \omega t + c_2 \cos \omega t
\end{align}

これで$v_x$と$v_y$が積分定数を通して結び付けれれた式が完成した。後は初期条件から積分定数を決定するだけ。$v_x$と$v_y$どちらの式から初期条件を与えても良いが結果から言うと$v_y$から求めたほうが手間が少ない。(やってみればわかる。)

まず$v_y$は$t=0$で$v$なので

$$v = c_2$$

続いて微分すると$y$方向の加速度が求まり、$t=0$で$y$方向への力はかかっていないので加速度0となり

$$ m \times 0 = - m \omega c_1 $$

なので$c_1=0$となる。

更に今度は積分する。初期位置が$y=0$ならば

\begin{align} 0 &= \frac{v}{\omega} \sin \omega t + c \\
&= c
\end{align}

よって最終的に

$$ v_y = v \cos \omega t$$ $$ y = \frac{v}{\omega} \sin \omega t $$

となる。また以上で求まった積分定数を$v_x$にも代入すると

$$v_x = v \sin \omega t$$

と一気に決定する。後は積分して$x$の積分定数だけ決定すれば良い。

$$ x = -\frac{v}{\omega} \cos \omega t + c $$ $$v = \frac{v}{\omega}$$

よって

$$ v_x = v \sin \omega t $$ $$ x = \frac{v}{\omega} (1 - \cos \omega t) $$

となる。

ここに更に電場もかかると例えば次のような運動方程式が成り立つ。

\begin{align}
m{v_x}' &= q v_y B \\
m{v_y}' &= qE - q v_x B \\
m{v_z}' &= 0
\end{align}

めんどくさいがこれも同様に解けば求まる。

電磁気まとめ

電磁気の細かな項目のまとめ

電気双極子モーメント

電気双極子モーメント $\bm{p} = q \bm{l}$

$\bm{p}$は$-q$から$+q$へ向かうベクトル

偶力 $\bm{N} = \bm{p} \times \bm{E}$

位置エネルギー $U = - \bm{p} \cdot \bm{E} $

位置エネルギーは$\bm{p}$と$\bm{E}$が垂直な面が基準で、そこから回転させるのにかかった仕事として求める。

磁気双極子モーメント

磁気双極子モーメント $\bm{m} = q_m \bm{l}$

強さ$M$で磁化された断面積$S$の磁石 $q_m = MS$

偶力 $\bm{N} = \bm{m} \times \bm{B}$

位置エネルギー $U = - \bm{m} \cdot \bm{B} $

位置エネルギーは$\bm{p}$と$\bm{E}$が垂直な面が基準で、そこから回転させるのにかかった仕事として求める。

分極ベクトル

分極した誘電体の単位体積あたりの双極子モーメント$\bm P$を分極ベクトルまたは誘電分極という。単位体積あたりの分子数を$n$とると

$$ \bm P = n\bm p = nq\bm l$$

となる。ここで面の単位法線ベクトルを$\bm n$とすれば表面密度$\sigma_P$は

$$ \sigma_P = \bm P \cdot \bm n$$

となる。分極ベクトルは実験によると電界に比例し、

$$ \bm P = \chi_e \epsilon_o \bm E $$

と表せる。$\chi_e$は電気感受率と呼ばれる。

誘電体が作る電束密度

分極している誘電体内部の真電荷$Q$と分極電荷$Q_p$を含む任意閉曲面$S$について以下が成り立つ。

\begin{align}
\epsilon_0 \oint_S \bm E \cdot d\bm S &= Q + Q_p \\
\oint_S (\epsilon_0 \bm E + \bm P ) \cdot d\bm S &= Q \\
\oint_S \bm D \cdot d\bm S &= Q \\
\end{align}
$$ ( \bm D = \epsilon_0 \bm E + \bm P) $$

結果$\bm D$は閉曲面内の真電荷$Q$のみによって決定されることがわかり、これを電束密度という。

誘電率と比誘電率

\begin{align}
\bm D &= \epsilon_0 (1+\chi_e)\bm E \\
&= \epsilon \bm E
\end{align}

$\epsilon$を誘電率と呼び、

$$\epsilon_r = \frac{\epsilon}{\epsilon_0} = 1+ \chi_e$$

を比誘電率という。

誘電体の境界面

電界の接線成分は境界面の両側で等しい

$$ E_1 \sin \theta_1 = E_2 \sin \theta_2 $$

電束密度の法線成分は境界面の両側で等しい

$$ D_1 \cos \theta_1 = D_2 \cos \theta_2 $$

誘電体を含むコンデンサ

$$ C = \epsilon_r C_0$$

真空の静電容量に比誘電率をかければよい。

磁性体の作る磁界

磁性体を等価な束縛電流$I_M$に置き換えた時ビオ・サバールの法則は次のようになる。

\begin{align}
d\bm B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{(I+I_M)d\bm s \times \bm r}{r^3}
\end{align}

また以下が成り立つ。

\begin{align}
\oint \bm B \cdot d \bm S = 0
\oint_c \bm B \cdot d \bm l = \mu_0 (\sum I + \sum I_M)
\end{align}

磁性体を含む磁界

真電流のみに依存する量として$\bm H$を定義すると以下になる。

$$\bm H = \frac{\bm B}{\mu_0} - \bm M$$

また

$$ \oint_c \bm H \cdot d \bm l = \sum I $$

磁化率と透磁率

$$ \bm M = \chi_m \bm H $$

となり、$\chi_m$は物質に固有な値で磁化率という。

また、

\begin{align}\bm B &= \mu_0 (1 + \chi_m)\bm H \\
&= \mu \bm H
\end{align}

$\mu$を磁性体の透磁率といい

$$ \mu_r = \frac{\mu}{\mu_0} = 1 + \chi_m $$

を比誘電率という。

磁性体の境界面

磁界の接線成分は境界面の両側で等しい

$$ H_1 \sin \theta_1 = H_2 \sin \theta_2 $$

磁束密度の法線成分は境界面の両側で等しい

$$ B_1 \cos \theta_1 = B_2 \cos \theta_2 $$

反磁界

磁性体を磁界$\bm H_O$の中に置いた場合、磁性体内部には$\bm H_0$の他に磁化$\bm M$による磁界$\bm H'$が存在する。$\bm H'$は常に$\bm H_0$と逆向きであるので反磁界と呼ばれる。

$$ \bm H' = -N \bm M $$

$N$は反磁界定数と呼ばれる。

$$ \bm H = \bm H_0 + \bm H' = \bm H_0 - N \bm M $$

磁界内のコイルの受ける力

磁束密度$\bm{B}$の一様な磁界中に、面積Sのコイルを、面の法線と磁界のなす角が$\theta$となるように置き、電流$\ I $を流す。

モーメント$ \bm{N} = \bm{m} \times \bm{B}$

磁気モーメント$ \bm{m} = I \bm{S}$

磁気モーメントの大きさは$IS$で向きは面法線上で電流の向きの右ねじの法則。

電流

$I = nqvS$

マクスウェルの方程式から波動方程式の導出

マクスウェルの方程式から波動方程式の導出をする。 まず条件として真電荷と伝導電流ともにない空間で、$\bm{E}$と$\bm H$は$z$と$t$のみの関数であるとする。

ガウスの法則$$ \rm{div} \ \bm D = 0 $$

は本来

$$ \frac{\partial D_x}{\partial x} + \frac{\partial D_y}{\partial y} + \frac{\partial D_z}{\partial z} = 0 $$

となるが、$z$と$t$のみの関数という条件のもと始めたので$z$微分の項以外は消える。よって$D=\epsilon E$より

$$ \epsilon \frac{\partial E_z}{\partial z} = 0 \tag{1} $$

となる。同様に磁界に関するガウスの法則

$$ \rm{div} \ \bm B = 0 $$

についても同様に

$$ \mu \frac{\partial H_z}{\partial z} = 0 \tag{2} $$

次にファラデーの法則

$$ \rm rot \ \bm E  = - \frac{\partial \bm B}{\partial t} $$

は

$$ \op{E_x}{E_y}{E_z}{x}{y}{z} = \left( -\rd{B_x}{t}, \ -\rd{B_y}{t}, \ -\rd{B_z}{t} \right) $$

だが例によって$x,y$による微分の項は消えるので

$$ \left( -\rd{E_y}{z}, \ \rd{E_x}{z}, \ 0 \right) = \left( -\rd{B_x}{t}, \ -\rd{B_y}{t}, \ -\rd{B_z}{t} \right) \tag{3} $$

よって

$$ \mu \rd{H_z}{t} = 0 \tag{4}$$

拡張されたアンペールの法則

$$ \rm rot \ \bm H = \bm j + \rd{ \bm D}{t} $$

は

$$ \op{H_x}{H_y}{H_z}{x}{y}{z} = \left(j_x,\  j_y,\  j_z \right) + \left( \rd{D_x}{t}, \ \rd{D_y}{t}, \ \rd{D_z}{t} \right) $$

だが、先程と同様に$z$微分以外を消し、また伝導電流$\ \bm j$がないという条件なので消え

$$ \left( -\rd{H_y}{z}, \ \rd{H_x}{z}, \ 0 \right) = \left( \rd{D_x}{t}, \ \rd{D_y}{t}, \ \rd{D_z}{t} \right)  \tag{5}$$

となり

$$ \epsilon \rd{E_z}{t} = 0 \tag{6}$$

続いて$(3)$より

\begin{align} \rd{E_x}{z} &= -\mu \rd{H_y}{t} \tag{7} \\ \rd{E_y}{z} &= \mu \rd{H_x}{t} \tag{8} \end{align}

続いて$(5)$より

\begin{align} \rd{H_x}{z} &= \epsilon \rd{E_y}{t} \tag{9} \\ \rd{H_y}{z} &= -\epsilon \rd{E_x}{t}  \tag{10}\end{align}

まとめると$(1)$と$(2)$より$E_z$と$H_z$は定数であることがわかる。そして電磁波の場合ともに0とおくことができる(らしい。よくわからない。) 

後はうまいこと式を変形させて波動方程式の形に持っていけば良い。例えば$(7)$を両辺$z$で微分して$(10)$も両辺$t$で微分する。積分順序は積分結果に関係ないので順番が違っても同じものとみなせば

$$ \frac{\partial^2E_x}{\partial z^2} = \epsilon \mu \frac{\partial^2 E_x}{\partial t^2} $$

同様にうまいことやれば

$$ \frac{\partial^2E_y}{\partial z^2} = \epsilon \mu \frac{\partial^2 E_y}{\partial t^2} $$

$$ \frac{\partial^2H_x}{\partial z^2} = \epsilon \mu \frac{\partial^2 H_x}{\partial t^2} $$

$$ \frac{\partial^2H_y}{\partial z^2} = \epsilon \mu \frac{\partial^2 H_y}{\partial t^2} $$

電場と電束密度と磁場と磁束密度

ややこしいので簡潔にまとめておく。

電場 E [\({\rm V/m}\)] [\({\rm N/C}\)]

電束密度 D [\({\rm C/m^2}\)]

磁束 H [\({\rm A/m}\)] [\({\rm N/Wb}\)]

磁束密度 B [\({\rm Wb/m^2}\)] [\({\rm T}\)]

\[D = \epsilon E\]

\[B = \mu H\]

1Cの電荷から出る電束が1本。電束は電荷だけによって決定される。

単位面積当たりの電束が電束密度。

単位面積当たりの電気力線の本数が電場。

電束は誘電率に左右されず、どこでも同じ本数。