陰関数の極値

陰関数の極値は少し厄介。まず、陰関数定理というのがあって諸々の条件を満たす時$f(x, y) = 0$は$y=\varphi (x)$となる関数になる。この辺りはよくわからないので置いておくが、とりあえず$y=\varphi (x)$となるので極値が考えられる。

まず、$y’$を求める。陰関数の微分は

$$\frac{dy}{dx} = - \frac{f_x}{f_y}$$

である。そして微分が0の点が停留点なのだから結局

$$f_x = 0$$ を求めればよい。このとき求めた点$(a,b)$を$f_y$に代入した時$f_y=0$となってしまう場合は特異点なので除外する。($y’= \infty$になることからもだめだと気づける。)

続いて通常の極値と同様に2階微分をして本当に極値が調べる。通常の陰関数の2階微分はすごくめんどくさい…。けど今は$f_x=0$の条件で進めているのでいくつか項が消えてすごくシンプルになる。

$$\frac{d^2 y}{dx^2} = - \frac{f_{xx}}{f_y}$$

たったこれだけである。候補として上がった停留点を全て代入しそれぞれ2階微分の値を求める。無論単なる2階微分と同じなので通常の極値同様に

$$\begin{align} \frac{d^2 y}{dx^2} > 0 \Rightarrow 極小値 \\ \frac{d^2 y}{dx^2} < 0 \Rightarrow 極大値 \end{align}$$

注意としては$f_{xx}$の$-$を付けたものが2階微分であること。