ロケットの打ち上げ

ロケットの打ち上げの問題で悩んだので整理してまとめておく。 ちなみにこの問題の結論となる式はツィオルコフスキーの公式と呼ばれている(ロシアのツィオルコフスキーが考えたので)。

まず、僕が思うスタンダードな解き方。 ロケットの時刻tにおける速度をv、tにおけるロケットの質量をm、ガスの時間あたりの噴射量をn、ガスの噴射速度をwとする。

運動量保存則に従って式を立てる。左辺が時刻tでの運動量で右辺がt+Δtでの運動量である。

 右辺第1項がロケットの運動量、第2項が噴射されたガスの運動量。ロケットはガスの分だけ軽くなりその分加速している。ガスは相対速度v-uで放出されている。

つぎにこの式の括弧を展開する。このとき微小量の2次の項は無視しても構わないことに注意。展開して微小量の2次の項を消すと次のようになる。

 ここでロケットの時刻tにおける質量は次のようになるのでこれを代入する。

 

 代入したものを計算していく。

 

初期条件t=0でv=0よりcを求め、まとめると

 

という結論が導かれる。 これは素直に運動量保存則の式を立てれば後は流れ作業で求まる。

では僕が悩んだのが次の解き方。といっても別に解き方が違うわけではなくガスの噴射量の変数の置き方が異なる場合の話。ガスの噴射量をさっきはn[kg/s]と置いたがそうではなく-Δmと置く場合である。とりあえずこの場合の運動量保存則の式を立てる。

見るからに違和感バリバリ。お陰で凄く悩まされた。 時刻が進むとロケットの質量が増加？ガスの分の運動量が引かれてるっておかしくないか？

ここで先ほどの

 

 をもう一度見てみる。これをtで微分すると

 

これはつまり 

 

こういうことなので、これを一番最初に立てた運動量保存則の式に当てはめると違和感バリバリの運動量保存則の式とおなじになる。 というわけで一見おかしいように見えて式自体は正しかったわけだ。

ではなぜあれで正しいのか。それはさっき求めたとおりΔmが負であるからだ。ようはこのΔmというのは単にガスの噴射量というわけではなくロケットの質量の変化量だということを思い出せばわかる。

単にΔmと書けば実際それが表すのは負の数である。だから実際の増えたり減ったりする質量としてみると正の数でなければいけないのでマイナスを付けている。 

よってΔmを使った式を立てる場合は 以下のように考えて式を立てればよい。

 

 一応この先の解き方を示しておく。例によってまず展開して微小量の2次の項を消去。

 

後は積分。

初期条件を求めてまとめると

単振り子の回転

図のように、長さlの糸の先に質量mの物体を取り付け初速度V0で打ち出す。このとき、

(1)糸がたるまずに振動するためのV0

(2)糸がたるまずに回転するためのV0

を求めよ。

(1)

まず張力Tを求める。

張力Tは物体の遠心力と重力の法線成分の和とつりあっている。

また、力学的エネルギー保存則により次の式が立つ。

 

左辺がt=0での力学的エネルギー、右辺が角度θのときの力学的エネルギーである。物体が折り返すときはv=0のときであるから、次のように変形してv=0のときの角度を求める。

 

 これを最初に立てた張力の式に代入する。物体が折り返すとき、例によってv=0なので遠心力は0となり、また張力が0以上であればたるまない。よって

 以上のように求まる。結局これは折り返すときに遠心力が働かないので、張力を作り出しているのは重力だけだということがポイントである。なので回転角は90°までになる。

(2)

今度は物体が頂上まで来た時に張力が0以上であればよい。頂上ということはθ=πなのでこれを(1)で求めた式に代入してv0を求める。

張力の式にθ=πを代入すると

 

同様に力学的エネルギー保存則の式にも代入すると

 

これを張力の式に当てはめれば求まる。

 

 ようは頂点での速度を初速度を用いて表し、これを張力の式に当てはめればその時の張力がわかる。あとはこの張力がたるまないという条件に沿うよう初速度を設定すればよい。