ラグランジュの未定乗数法

関数 $f(x,y)$の、領域D内での最大値または最小値を求めるにはラグランジュの未定乗数法が簡単。まず、領域D内での最大値または最小値は必ず領域の境界上でとる。境界を表す関数を$g(x,y) = 0$とする。このとき関数 $f(x,y)$は$g(x,y) = 0$のもとで点$(a,b)$にて極値をとる。こうおくと、 $$\begin{align*} f_x(a,b)&=\lambda g_x(a,b) \\ f_y(a,b)&=\lambda g_y(a,b) \\ g(a,b) &= 0 \tag{1} \end{align*}$$ が成り立つ。この3の式を連立して$x$と$y$を求めるので、最初の2式は最初から$\lambda$を消去した形 $$\frac{f_x(a,b)}{g_x(a,b)}=\frac{f_y(a,b)}{g_y(a,b)} \tag{2}$$ で始めれば計算が楽になる。なので$(2)$の形を採用すれば、$(2)$を計算して整理した式を$(1)$に代入すれば実際に$(a,b)$が求まる。後は求まった$(a,b)$を $f(x,y)$に代入して値を求めれば終わり。