マクスウェルの速度分布則の計算

マクスウェルの速度分布則の計算がややこしかったので計算部分だけまとめ。

\begin{align*} \overline{v} &= \int_0^{\infty} v 4 \pi v^2 f(v)dv \\ &= 4 \pi \left( m \over{2 \pi k T} \right)^{3 \over{2}} \int_0^{\infty} v^3 e^{-{mv^2 \over{2kT}}} dv \end{align*} ここで \[ t = {mv^2\over{kT}} \] とおく。 \begin{align*} {dt \over {dv}} &= {2mv \over {kT}} \\ dv &= {kT \over {2mv}} dt \end{align*} \(t\)と\(dv\)を元の式に代入する。積分の部分だけ抜き出して計算すると \begin{align*} &\int_0^{\infty} v^3 e^{-{mv^2 \over{2kT}}} dv \\ =& \int_0^{\infty} v^3 e^{- \frac{t}{2}} \frac{kT}{2mv} dt \\ =& \int_0^{\infty} v^2 e^{- \frac{t}{2}} \frac{kT}{2m} dt \\ \end{align*} \(t=\)を変形して \[ v^2 = \frac{kT}{m}t \] なのでこれを代入して \begin{align*} =& \frac{k^2 T^2}{2m^2} \int_0^{\infty} t e^{-\frac{t}{2}} dt \\ \end{align*} ここでまた積分の部分だけ抜き出して計算する。部分積分を使って計算する。 \begin{align*} & \int_0^{\infty} t e^{-\frac{t}{2}} dt \\ =& \left[ -2 t e^{-\frac{t}{2}} \right]_0^\infty - \int_0^\infty - 2 e^{-\frac{t}{2}} dt \\ =& \left[ -4 e^{-\frac{t}{2}} \right]_0^\infty \\ =& 4 \end{align*} よって最初に始めた積分は \[ \frac{2 k^2 T^2}{m^2} \] よって \begin{align*} \overline{v} &= 4 \pi \left( m \over{2 \pi k T} \right)^{3 \over{2}} \frac{2 k^2 T^2}{m^2} \\ &= 2 \sqrt{ \frac{2kT}{\pi m} } \end{align*}

空気中に置かれた棒の熱伝導

「空気中に置かれた十分に長い半径rの円柱がある。一端をT1に保ち他端は空気の温度T0になっているとするとき、定常状態での棒の温度分布を求めよ。円柱物質の熱伝導率をλ、表面熱伝導率をαとする。」

このとき重要なのは次の図である。

円柱の軸にそってx軸をとる。x方向の微小体積を考えた時、定常状態であるから流入する熱量と流出する熱量が等しい。このことに気付けるか気付けないかが問題が解ける解けないを決定する。

x軸方向へは熱伝導率λで熱が伝わっていく。そして左から流れ込む熱量と右から流れ出す熱量の差は表面から熱伝導率αで空気中へ逃げていく。

あとはこの関係を式に起こし微分方程式として解けばよい。

密度を使用した体膨張率の導出

少し苦労したのでまとめておく。

まず 密度の定義から体積は

と表される。ここで体積を密度で微分すると

 

これを体膨張率の定義式(θは温度 )

 

に代入すると

 

ここで密度の定義式からM/Vが密度ρなので

 

 と導かれる

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ポアソンの関係式

参考書に載っていたポアソンの関係式を導く流れがややこしくて嫌なので他にいい方法がないか考えてみた。

要は微分方程式。「微分方程式を解けば定数が現れる。そして変形してイコール定数の形に持っていく。結果常に一定という式が得られる。」これをしっかり覚えておけば試験中ど忘れしてもなんとか出せると思う。