マクスウェルの速度分布則の計算

マクスウェルの速度分布則の計算がややこしかったので計算部分だけまとめ。

$$\begin{align*} \overline{v} &= \int_0^{\infty} v 4 \pi v^2 f(v)dv \\ &= 4 \pi \left( m \over{2 \pi k T} \right)^{3 \over{2}} \int_0^{\infty} v^3 e^{-{mv^2 \over{2kT}}} dv \end{align*}$$ ここで $$t = {mv^2\over{kT}}$$ とおく。 $$\begin{align*} {dt \over {dv}} &= {2mv \over {kT}} \\ dv &= {kT \over {2mv}} dt \end{align*}$$ $t$と$dv$を元の式に代入する。積分の部分だけ抜き出して計算すると $$\begin{align*} &\int_0^{\infty} v^3 e^{-{mv^2 \over{2kT}}} dv \\ =& \int_0^{\infty} v^3 e^{- \frac{t}{2}} \frac{kT}{2mv} dt \\ =& \int_0^{\infty} v^2 e^{- \frac{t}{2}} \frac{kT}{2m} dt \\ \end{align*}$$ $t=$を変形して $$v^2 = \frac{kT}{m}t$$ なのでこれを代入して $$\begin{align*} =& \frac{k^2 T^2}{2m^2} \int_0^{\infty} t e^{-\frac{t}{2}} dt \\ \end{align*}$$ ここでまた積分の部分だけ抜き出して計算する。部分積分を使って計算する。 $$\begin{align*} & \int_0^{\infty} t e^{-\frac{t}{2}} dt \\ =& \left[ -2 t e^{-\frac{t}{2}} \right]_0^\infty - \int_0^\infty - 2 e^{-\frac{t}{2}} dt \\ =& \left[ -4 e^{-\frac{t}{2}} \right]_0^\infty \\ =& 4 \end{align*}$$ よって最初に始めた積分は $$\frac{2 k^2 T^2}{m^2}$$ よって $$\begin{align*} \overline{v} &= 4 \pi \left( m \over{2 \pi k T} \right)^{3 \over{2}} \frac{2 k^2 T^2}{m^2} \\ &= 2 \sqrt{ \frac{2kT}{\pi m} } \end{align*}$$