電磁気まとめ

電磁気の細かな項目のまとめ

電気双極子モーメント

電気双極子モーメント $\bm{p} = q \bm{l}$

$\bm{p}$は$-q$から$+q$へ向かうベクトル

偶力 $\bm{N} = \bm{p} \times \bm{E}$

位置エネルギー $U = - \bm{p} \cdot \bm{E} $

位置エネルギーは$\bm{p}$と$\bm{E}$が垂直な面が基準で、そこから回転させるのにかかった仕事として求める。

磁気双極子モーメント

磁気双極子モーメント $\bm{m} = q_m \bm{l}$

強さ$M$で磁化された断面積$S$の磁石 $q_m = MS$

偶力 $\bm{N} = \bm{m} \times \bm{B}$

位置エネルギー $U = - \bm{m} \cdot \bm{B} $

位置エネルギーは$\bm{p}$と$\bm{E}$が垂直な面が基準で、そこから回転させるのにかかった仕事として求める。

分極ベクトル

分極した誘電体の単位体積あたりの双極子モーメント$\bm P$を分極ベクトルまたは誘電分極という。単位体積あたりの分子数を$n$とると

$$ \bm P = n\bm p = nq\bm l$$

となる。ここで面の単位法線ベクトルを$\bm n$とすれば表面密度$\sigma_P$は

$$ \sigma_P = \bm P \cdot \bm n$$

となる。分極ベクトルは実験によると電界に比例し、

$$ \bm P = \chi_e \epsilon_o \bm E $$

と表せる。$\chi_e$は電気感受率と呼ばれる。

誘電体が作る電束密度

分極している誘電体内部の真電荷$Q$と分極電荷$Q_p$を含む任意閉曲面$S$について以下が成り立つ。

\begin{align}
\epsilon_0 \oint_S \bm E \cdot d\bm S &= Q + Q_p \\
\oint_S (\epsilon_0 \bm E + \bm P ) \cdot d\bm S &= Q \\
\oint_S \bm D \cdot d\bm S &= Q \\
\end{align}
$$ ( \bm D = \epsilon_0 \bm E + \bm P) $$

結果$\bm D$は閉曲面内の真電荷$Q$のみによって決定されることがわかり、これを電束密度という。

誘電率と比誘電率

\begin{align}
\bm D &= \epsilon_0 (1+\chi_e)\bm E \\
&= \epsilon \bm E
\end{align}

$\epsilon$を誘電率と呼び、

$$\epsilon_r = \frac{\epsilon}{\epsilon_0} = 1+ \chi_e$$

を比誘電率という。

誘電体の境界面

電界の接線成分は境界面の両側で等しい

$$ E_1 \sin \theta_1 = E_2 \sin \theta_2 $$

電束密度の法線成分は境界面の両側で等しい

$$ D_1 \cos \theta_1 = D_2 \cos \theta_2 $$

誘電体を含むコンデンサ

$$ C = \epsilon_r C_0$$

真空の静電容量に比誘電率をかければよい。

磁性体の作る磁界

磁性体を等価な束縛電流$I_M$に置き換えた時ビオ・サバールの法則は次のようになる。

\begin{align}
d\bm B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{(I+I_M)d\bm s \times \bm r}{r^3}
\end{align}

また以下が成り立つ。

\begin{align}
\oint \bm B \cdot d \bm S = 0
\oint_c \bm B \cdot d \bm l = \mu_0 (\sum I + \sum I_M)
\end{align}

磁性体を含む磁界

真電流のみに依存する量として$\bm H$を定義すると以下になる。

$$\bm H = \frac{\bm B}{\mu_0} - \bm M$$

また

$$ \oint_c \bm H \cdot d \bm l = \sum I $$

磁化率と透磁率

$$ \bm M = \chi_m \bm H $$

となり、$\chi_m$は物質に固有な値で磁化率という。

また、

\begin{align}\bm B &= \mu_0 (1 + \chi_m)\bm H \\
&= \mu \bm H
\end{align}

$\mu$を磁性体の透磁率といい

$$ \mu_r = \frac{\mu}{\mu_0} = 1 + \chi_m $$

を比誘電率という。

磁性体の境界面

磁界の接線成分は境界面の両側で等しい

$$ H_1 \sin \theta_1 = H_2 \sin \theta_2 $$

磁束密度の法線成分は境界面の両側で等しい

$$ B_1 \cos \theta_1 = B_2 \cos \theta_2 $$

反磁界

磁性体を磁界$\bm H_O$の中に置いた場合、磁性体内部には$\bm H_0$の他に磁化$\bm M$による磁界$\bm H'$が存在する。$\bm H'$は常に$\bm H_0$と逆向きであるので反磁界と呼ばれる。

$$ \bm H' = -N \bm M $$

$N$は反磁界定数と呼ばれる。

$$ \bm H = \bm H_0 + \bm H' = \bm H_0 - N \bm M $$

磁界内のコイルの受ける力

磁束密度$\bm{B}$の一様な磁界中に、面積Sのコイルを、面の法線と磁界のなす角が$\theta$となるように置き、電流$\ I $を流す。

モーメント$ \bm{N} = \bm{m} \times \bm{B}$

磁気モーメント$ \bm{m} = I \bm{S}$

磁気モーメントの大きさは$IS$で向きは面法線上で電流の向きの右ねじの法則。

電流

$I = nqvS$