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2014年8月14日木曜日

電磁気まとめ

電磁気の細かな項目のまとめ

電気双極子モーメント


電気双極子モーメント \bm{p} = q \bm{l}


\bm{p}-qから+qへ向かうベクトル


偶力 \bm{N} = \bm{p} \times \bm{E}


位置エネルギー U = - \bm{p} \cdot \bm{E}


位置エネルギーは\bm{p}\bm{E}が垂直な面が基準で、そこから回転させるのにかかった仕事として求める。

磁気双極子モーメント


磁気双極子モーメント \bm{m} = q_m \bm{l}


強さMで磁化された断面積Sの磁石 q_m = MS


偶力 \bm{N} = \bm{m} \times \bm{B}


位置エネルギー U = - \bm{m} \cdot \bm{B}


位置エネルギーは\bm{p}\bm{E}が垂直な面が基準で、そこから回転させるのにかかった仕事として求める。

分極ベクトル

分極した誘電体の単位体積あたりの双極子モーメント\bm Pを分極ベクトルまたは誘電分極という。単位体積あたりの分子数をnとると

\bm P = n\bm p = nq\bm l

となる。ここで面の単位法線ベクトルを\bm nとすれば表面密度\sigma_P

\sigma_P = \bm P \cdot \bm n

となる。分極ベクトルは実験によると電界に比例し、

\bm P = \chi_e \epsilon_o \bm E

と表せる。\chi_eは電気感受率と呼ばれる。

誘電体が作る電束密度

分極している誘電体内部の真電荷Qと分極電荷Q_pを含む任意閉曲面Sについて以下が成り立つ。


\begin{align} \epsilon_0 \oint_S \bm E \cdot d\bm S &= Q + Q_p \\ \oint_S (\epsilon_0 \bm E + \bm P ) \cdot d\bm S &= Q \\ \oint_S \bm D \cdot d\bm S &= Q \\ \end{align}
( \bm D = \epsilon_0 \bm E + \bm P)

結果\bm Dは閉曲面内の真電荷Qのみによって決定されることがわかり、これを電束密度という。

誘電率と比誘電率


\begin{align} \bm D &= \epsilon_0 (1+\chi_e)\bm E \\ &= \epsilon \bm E \end{align}

\epsilonを誘電率と呼び、

\epsilon_r = \frac{\epsilon}{\epsilon_0} = 1+ \chi_e

を比誘電率という。

誘電体の境界面

電界の接線成分は境界面の両側で等しい

E_1 \sin \theta_1 = E_2 \sin \theta_2

電束密度の法線成分は境界面の両側で等しい

D_1 \cos \theta_1 = D_2 \cos \theta_2

誘電体を含むコンデンサ

C = \epsilon_r C_0

真空の静電容量に比誘電率をかければよい。

磁性体の作る磁界

磁性体を等価な束縛電流I_Mに置き換えた時ビオ・サバールの法則は次のようになる。

\begin{align} d\bm B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{(I+I_M)d\bm s \times \bm r}{r^3} \end{align}

また以下が成り立つ。

\begin{align} \oint \bm B \cdot d \bm S = 0 \oint_c \bm B \cdot d \bm l = \mu_0 (\sum I + \sum I_M) \end{align}

磁性体を含む磁界

真電流のみに依存する量として\bm Hを定義すると以下になる。

\bm H = \frac{\bm B}{\mu_0} - \bm M

また

\oint_c \bm H \cdot d \bm l = \sum I

磁化率と透磁率

\bm M = \chi_m \bm H

となり、\chi_mは物質に固有な値で磁化率という。

また、

\begin{align}\bm B &= \mu_0 (1 + \chi_m)\bm H \\ &= \mu \bm H \end{align}

\muを磁性体の透磁率といい

\mu_r = \frac{\mu}{\mu_0} = 1 + \chi_m

を比誘電率という。

磁性体の境界面

磁界の接線成分は境界面の両側で等しい

H_1 \sin \theta_1 = H_2 \sin \theta_2

磁束密度の法線成分は境界面の両側で等しい

B_1 \cos \theta_1 = B_2 \cos \theta_2

反磁界

磁性体を磁界\bm H_Oの中に置いた場合、磁性体内部には\bm H_0の他に磁化\bm Mによる磁界\bm H'が存在する。\bm H'は常に\bm H_0と逆向きであるので反磁界と呼ばれる。

\bm H' = -N \bm M

Nは反磁界定数と呼ばれる。

\bm H = \bm H_0 + \bm H' = \bm H_0 - N \bm M

磁界内のコイルの受ける力


磁束密度\bm{B}の一様な磁界中に、面積Sのコイルを、面の法線と磁界のなす角が\thetaとなるように置き、電流\ I を流す。


モーメント \bm{N} = \bm{m} \times \bm{B}


磁気モーメント \bm{m} = I \bm{S}


磁気モーメントの大きさはISで向きは面法線上で電流の向きの右ねじの法則。

電流


I = nqvS

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