問 ファンデルワールスの状態方程式

a)

条件が示されているので条件を満たす定数を見つければ良い。結果は

$$
V_c = 3b, \ T_c = \frac{8a}{27Rb}, \ p_c = \frac{a}{27b^2}
$$

b)

ビリアル展開は理想気体と実在気体のズレを$1/V$または$P$のべき級数を使って補正しようとするもの。問題にあるビリアル展開は理想気体の方程式$pV_m=RT$の場合である。この定義に従ってファンデルワールスの状態方程式を$1/V_m$のべき級数で表す。まず理想気体のビリアル展開と同じ形をファンデルワールスの状態方程式で作ってみると

\begin{align}
pV_m &= \frac{RT}{1-b/V_m} - \frac{a}{V_m} \\
& = RT \left( \frac{1}{1-b/V_m} - \frac{a}{RTV_m} \right)
\end{align}

となる。ここで問題にヒントとして与えられた展開の公式を使えば

$$
pV_m = RT \left( 1 + \left(b - \frac{a}{RT} \right)\frac{1}{V_m} + \frac{b^2}{V_m^2} +... \right)
$$

となる。よって

$$ B = b - \frac{a}{RT}$$

B=0となる温度がボイル温度であるので、ボイル温度は

$$ T = \frac{a}{Rb}$$

これをa)で求めた$T_c$と比較すれば

$$ T = \frac{27T_c}{8}$$

c)

問題から与えられた式通り計算すれば

$$
\left( \rd{U}{V} \right)_T = \frac{R}{V_m-b}T-p
$$