空気中に置かれた棒の熱伝導

「空気中に置かれた十分に長い半径rの円柱がある。一端をT1に保ち他端は空気の温度T0になっているとするとき、定常状態での棒の温度分布を求めよ。円柱物質の熱伝導率をλ、表面熱伝導率をαとする。」

このとき重要なのは次の図である。

円柱の軸にそってx軸をとる。x方向の微小体積を考えた時、定常状態であるから流入する熱量と流出する熱量が等しい。このことに気付けるか気付けないかが問題が解ける解けないを決定する。

x軸方向へは熱伝導率λで熱が伝わっていく。そして左から流れ込む熱量と右から流れ出す熱量の差は表面から熱伝導率αで空気中へ逃げていく。

あとはこの関係を式に起こし微分方程式として解けばよい。