こんなの知らなきゃ絶対解けないと思う積分が出てきたので整理しておく。
∫2a0√2a−xxdx
x=2asin2θとおく。
x=2asin2θ=2a(1−cos2θ2)dxdθ=2asin2θ
加法定理より
sin(θ+θ)=sinθcosθ+cosθsinθ=2sinθcosθ
なので
dxdθ=2asin2θ=2a(2sinθcosθ)=4asinθcosθdx=4asinθcosθdθ
となる。積分範囲は0=2asin2θよりθ=0から2a=2asin2θよりθ=π2まで
これらを使って
∫2a0√2a−xxdx=∫π20√2a−2asin2θ2asin2θ4asinθcosθdθ=∫π20√1−sin2θsin2θ4asinθcosθdθ=∫π20√cos2θsin2θ4asinθcosθdθ=4a∫π20cosθsinθsinθcosθdθ=4a∫π20cos2θdθ
あとは普通に計算できる。
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