積分まとめ

こんなの知らなきゃ絶対解けないと思う積分が出てきたので整理しておく。

\begin{align*} &\int_0^{2a} \sqrt{2a-x \over x} dx \\ \end{align*}

\(x = 2 a sin^2 \theta\)とおく。

\begin{align*} x &= 2 a \sin^2 \theta \\ &= 2a \left( 1 - \cos 2\theta \over 2 \right) \\ {dx \over d\theta} &= 2a \sin 2\theta \end{align*}

\( 加法定理より \)

\begin{align*} \sin(\theta + \theta) &= \sin\theta \cos\theta + \cos\theta \sin\theta \\ &= 2\sin\theta \cos\theta \end{align*}

なので

\begin{align*} {dx \over d\theta} &= 2a \sin 2\theta \\ &= 2a(2\sin\theta \cos\theta) \\ &= 4a \sin\theta \cos\theta \\ dx &= 4a \sin\theta \cos\theta d\theta \end{align*}

となる。積分範囲は\(0 = 2 a \sin^2 \theta\)より\(\theta = 0\)から\(2a = 2 a \sin^2 \theta\)より\(\theta = {\pi \over 2}\)まで

これらを使って

\begin{align*} &\int_0^{2a} \sqrt{2a-x \over x} dx \\ = &\int_0^{\pi \over 2} \sqrt{2a-2 a \sin^2 \theta \over 2 a \sin^2 \theta} 4a \sin\theta \cos\theta d\theta \\ = &\int_0^{\pi \over 2} \sqrt{1 - \sin^2 \theta \over \sin^2 \theta} 4a \sin\theta \cos\theta d\theta \\ = &\int_0^{\pi \over 2} \sqrt{\cos^2 \theta \over \sin^2 \theta} 4a \sin\theta \cos\theta d\theta \\ = & 4a \int_0^{\pi \over 2} {\cos \theta \over \sin \theta} \sin\theta \cos\theta d\theta \\ = & 4a \int_0^{\pi \over 2} \cos^2 \theta d\theta \end{align*}

あとは普通に計算できる。