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2014年8月10日日曜日

積分まとめ

こんなの知らなきゃ絶対解けないと思う積分が出てきたので整理しておく。

2a02axxdx

x=2asin2θとおく。

x=2asin2θ=2a(1cos2θ2)dxdθ=2asin2θ

sin(θ+θ)=sinθcosθ+cosθsinθ=2sinθcosθ

なので

dxdθ=2asin2θ=2a(2sinθcosθ)=4asinθcosθdx=4asinθcosθdθ

となる。積分範囲は0=2asin2θよりθ=0から2a=2asin2θよりθ=π2まで

これらを使って

2a02axxdx=π202a2asin2θ2asin2θ4asinθcosθdθ=π201sin2θsin2θ4asinθcosθdθ=π20cos2θsin2θ4asinθcosθdθ=4aπ20cosθsinθsinθcosθdθ=4aπ20cos2θdθ

あとは普通に計算できる。

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