マクスウェルの方程式から波動方程式の導出

マクスウェルの方程式から波動方程式の導出をする。 まず条件として真電荷と伝導電流ともにない空間で、$\bm{E}$と$\bm H$は$z$と$t$のみの関数であるとする。

ガウスの法則 $$\rm{div} \ \bm D = 0$$

は本来

$$\frac{\partial D_x}{\partial x} + \frac{\partial D_y}{\partial y} + \frac{\partial D_z}{\partial z} = 0$$

となるが、$z$と$t$のみの関数という条件のもと始めたので$z$微分の項以外は消える。よって$D=\epsilon E$より

$$\epsilon \frac{\partial E_z}{\partial z} = 0 \tag{1}$$

となる。同様に磁界に関するガウスの法則

$$\rm{div} \ \bm B = 0$$

についても同様に

$$\mu \frac{\partial H_z}{\partial z} = 0 \tag{2}$$

次にファラデーの法則

$$\rm rot \ \bm E  = - \frac{\partial \bm B}{\partial t}$$

は

$$\op{E_x}{E_y}{E_z}{x}{y}{z} = \left( -\rd{B_x}{t}, \ -\rd{B_y}{t}, \ -\rd{B_z}{t} \right)$$

だが例によって$x,y$による微分の項は消えるので

$$\left( -\rd{E_y}{z}, \ \rd{E_x}{z}, \ 0 \right) = \left( -\rd{B_x}{t}, \ -\rd{B_y}{t}, \ -\rd{B_z}{t} \right) \tag{3}$$

よって

$$\mu \rd{H_z}{t} = 0 \tag{4}$$

拡張されたアンペールの法則

$$\rm rot \ \bm H = \bm j + \rd{ \bm D}{t}$$

は

$$\op{H_x}{H_y}{H_z}{x}{y}{z} = \left(j_x,\  j_y,\  j_z \right) + \left( \rd{D_x}{t}, \ \rd{D_y}{t}, \ \rd{D_z}{t} \right)$$

だが、先程と同様に$z$微分以外を消し、また伝導電流$\ \bm j$がないという条件なので消え

$$\left( -\rd{H_y}{z}, \ \rd{H_x}{z}, \ 0 \right) = \left( \rd{D_x}{t}, \ \rd{D_y}{t}, \ \rd{D_z}{t} \right)  \tag{5}$$

となり

$$\epsilon \rd{E_z}{t} = 0 \tag{6}$$

続いて$(3)$より

$$\begin{align} \rd{E_x}{z} &= -\mu \rd{H_y}{t} \tag{7} \\ \rd{E_y}{z} &= \mu \rd{H_x}{t} \tag{8} \end{align}$$

続いて$(5)$より

$$\begin{align} \rd{H_x}{z} &= \epsilon \rd{E_y}{t} \tag{9} \\ \rd{H_y}{z} &= -\epsilon \rd{E_x}{t}  \tag{10}\end{align}$$

まとめると$(1)$と$(2)$より$E_z$と$H_z$は定数であることがわかる。そして電磁波の場合ともに0とおくことができる(らしい。よくわからない。) 

後はうまいこと式を変形させて波動方程式の形に持っていけば良い。例えば$(7)$を両辺$z$で微分して$(10)$も両辺$t$で微分する。積分順序は積分結果に関係ないので順番が違っても同じものとみなせば

$$\frac{\partial^2E_x}{\partial z^2} = \epsilon \mu \frac{\partial^2 E_x}{\partial t^2}$$

同様にうまいことやれば

$$\frac{\partial^2E_y}{\partial z^2} = \epsilon \mu \frac{\partial^2 E_y}{\partial t^2}$$

$$\frac{\partial^2H_x}{\partial z^2} = \epsilon \mu \frac{\partial^2 H_x}{\partial t^2}$$

$$\frac{\partial^2H_y}{\partial z^2} = \epsilon \mu \frac{\partial^2 H_y}{\partial t^2}$$